우함수를 미분하면 기함수가 된다

어떤 함수 가 우함수(Even function)라는 말은 모든 x에 대해서 가 성립한다는 뜻입니다. 몇 가지 예를 들자면, 등이 있겠습니다. 이런 우함수의 그래프를 xy좌표평면에 그려보면 y축에 대해 대칭인 모습을 띄게 됩니다. 또한, 어떤 가 기함수(Odd function)라는 말은 모든 x에 대해서 가 성립한다는 뜻입니다. 몇 가지 예를 들자면, 등이 있겠지요. 이런 기함수의 그래프는 xy좌표평면에서 원점에 대해 대칭인 모습을 보여줍니다.

 

미적분을 배우게 되면서 문제집 등에서 흔히 볼 수 있는 증명 문제 중에,

"우함수를 미분하면 기함수가 됨을 증명해라" (또는 "기함수를 미분하면 우함수가 됨을 증명해라") 가 있습니다. 두 문제의 풀이가 비슷하기 때문에 우함수를 미분하면 기함수가 된다는 것만 보이면 아래와 같습니다.

 

[풀이] f(x)를 우함수라고 하고 이를 미분한 함수를 f'(x)라 하자. 그러면,

따라서, f'(x)는 기함수가 된다.

 

그런데, 이것을 (비록 엄밀한 증명은 아닐 지 모르지만) 그림으로 나타내어 이해를 도울 수 있는 방법이 있어서 소개해 봅니다. 출처는 Raman, M. J. (2002). Proof and Justification in Collegiate Calculus. Ph.D. dissertation, University of California, Berkeley, United States. 입니다.

 

그림은 1) 우함수의 그래프가 y축에 대해 대칭이라는 사실과 2) 어떤 점에서의 도함수(미분한 함수)는 그 점에서의 접선의 기울기를 나타낸다는 사실을 이용한 것입니다. 그림에서 볼 수 있듯이 점 (x,f(x))에서의 기울기는 점 (-x,f(-x))에서의 접선의 기울기와 값은 같되 부호가 정 반대가 될 것입니다. 따라서, 우함수의 도함수는 기함수가 되겠지요.

 

Raman의 논문에는 포함되어 있지 않습니다만, 위에 제시한 두번째 문제 "기함수를 미분하면 우함수가 된다"는 것도 이렇게 그림으로 설명해 볼 수 있습니다. 이 글을 읽으시는 분들이 직접 한번 그려 보시기 바랍니다.

수학적인 능력을 기르는 데에 엄밀한 증명이 물론 중요하겠지요. 그렇지만 여러가지 방법으로 설명해서 다양한 수준의 독자들의 이해를 돕는 것도 중요하지 않을까 생각해 봅니다.