적분없이 정적분하기(2) –대칭을 이용한 문제

다음과 같은 문제를 하나 생각해 보겠습니다.

"포물선 과 직선 로 둘러쌓인 부분의 넓이를 최소로 만드는 상수 a의 값을 구하시오."

 

이 문제를 교과과정에 따라 굳이 분류한다면 고등학교 정적분의 응용단원에서 두 함수의 그래프로 둘러쌓인 부분의 넓이를 구하는 예 중에 하나라고 할 것입니다. 사실, 이 문제는 정적분을 이용한다 하더라도 그리 만만하게 풀리는 문제는 아닙니다.

 

그런데, 이 문제를 적분의 도움을 받지 않고 풀 수 있는 방법이 있어서 소개해 보려고 합니다. 출처는 Leikin, R., Berman, A. & Zaslavsky, O. (2000). Application of symmetry to problem solving. International Journal of mathematical education in science and technology, 31, 799-809 (Copyright. 2000 Taylor & Francis Ltd. All rights reserved) 입니다.

 

직선 y=ax+3은 a의 값에 상관없이 점 Q(0,3)을 지나게 됩니다. a=0인 상태 (직선 y=3)에서 두 곡선 사이의 넓이는 오른쪽 그림처럼 도형PMV가 될 것입니다.

 

이 직선을 (그림에서 l처럼) 어느 정도 기울였다고 하겠습니다. (이 때, 포물선 은 y축에 대해 대칭이기 때문에 직선이 어느쪽으로 기울이지건 똑같이 설명할 수 있습니다.)

 

이때, 늘어나는 넓이는 도형 LMQ인데, 이것은 삼각형 KMQ보다 넓습니다. 그런데, 대칭에 의해서 삼각형 KMQ의 넓이는 삼각형 NPQ와 같고 이 넓이는 직선을 기울였기 때문에 줄어드는 넓이인 도형 SPQ보다 큽니다. 즉, 도형 LMQ의 넓이 (늘어난 넓이)가 도형 SPQ의 넓이 (줄어든 넓이)보다 크게 됩니다. 요악하자면, 직선이 기울어지면 (즉, a가 0이 아니면) a=0인 상태보다 두 곡선 사이의 넓이가 늘어나게 됩니다.

따라서, a=0일 때 최소값을 가지게 됩니다.

 

 

물론, 이 문제는 특정하게 주어진 함수가 대칭성을 띌 때 쉽게 푸는 방법을 소개하려고 고안한 것이며 따라서 많은 정적분 문제에 응용될 수 있는 것은 아닙니다.

하지만, 너무 고차원적인(?) 방법에 사로잡혀서 때론 기본적인 방법이나 관조하며 생각해 보는 여유를 잃어버리고 있는 독자들에게 그런 것들을 일깨워주는 효과가 있지 않을까 싶습니다. 그림과 말로만 답을 설명하기에 충분하니 수식이라면 진절머리를 내는 독자들의 호응도 얻을 수 있겠구요.