수(數)상(想)헌(軒)

포물선 과 양의 x축, 그리고 직선 x=b로 둘러싸인 부분의 넓이는 어떻게 될까요?

미적분학을 조금이라도 공부한 학생이라면 이 상황을 수식으로 로 표현할 것이고, 의 부정적분이 임을 이용해서 답이 임을 쉽게 구할 수 있을 것입니다.

그럼, 미적분학을 공부하지 않은 학생이 이 넓이를 구할 수 있는 방법은 없을까요?

그런 방법이 있다고 말하는 사람이 있어서 소개해 볼까 합니다. 그림의 출처는 Seaquist, C. R. (2008). Proof Without Words: Area of a Parabolic Segment. Mathematics Magazine, 81(3), 219.입니다. (Copyright. The Mathematical Assocation of America. All rights reserved.)

왼쪽 그림에서 볼 수 있듯이,

어떤 수 b의 제곱이라는 것은,

도형으로 보자면 한 변이 b인

정사각형의 넓이로 생각해 볼 수 있습니다.

즉, 처음 그림에서, 0과 b 사이의 임의의 값 t에서 곡선 까지의 거리를 나타내는 은, 두 번째 그림처럼, 높이가 b, 밑변도 b로 이루어진 정사각뿔을 위에서부터 높이가 t인 지점에서 밑면에 평행하게 자른 단면으로 볼 수도 있다는 것입니다.

따라서, 처음 그림에서 길이 짜리 선분이 0에서 출발해서 b까지 도착할 동안 훑고 지나가는 부분이 구하는 넓이라면, 이것은 두번째 그림에서 넒이 인 단면이 정사각뿔의 꼭지점(0)에서 밑면(b)까지 도착할 동안 훑고 지나가는 부피와 같은 맥락이 됩니다.

결국, 구하는 부분의 넓이는 정사각뿔의 부피를 구하는 것과 같게 되니까 이 됩니다.